#### Ex 1 x.ech = c(0.85,0.9,0.9,0.95,0.95,0.95,1.00,1.00,1.05) mean(x.ech) sum((x.ech-mean(x.ech))^2)/(length(x.ech)-1) ## IC pour mu ## confiance 0.99 c(mean(x.ech)+qt(0.005,8)*sd(x.ech)/sqrt(9), mean(x.ech)+qt(0.995,8)*sd(x.ech)/sqrt(9)) #[1] 0.8815084 1.0184916 ## confiance 0.95 c(mean(x.ech)+qt(0.025,8)*sd(x.ech)/sqrt(9), mean(x.ech)+qt(0.975,8)*sd(x.ech)/sqrt(9)) #[1] 0.9029289 0.9970711 ## IC pour sigma, de confiance 0.95 q1 = qchisq(0.025,8) q2 = qchisq(0.975,8) ## pour sigma^2 ICs2 = c(sum((x.ech-mean(x.ech))^2)/q2, sum((x.ech-mean(x.ech))^2)/q1) ICs = sqrt(ICs2) #> ICs2 #[1] 0.001710908 0.013763168 #> ICs #[1] 0.04136313 0.11731653 #> sd(x.ech) #[1] 0.06123724 ### Ex 2 pnorm(23.7,mean=23.65,sd=0.02) ## Pr(X <= 23.7) pnorm(23.7,mean=23.65,sd=0.02) - pnorm(23.6,mean=23.65,sd=0.02) ## taille d'echantillon ## si 1-alpha = 0.99 z.alpha= qnorm(0.995) (2/0.01*z.alpha*0.02)^2 [1] 106.1583 ## n=107 ## si 1-alpha = 0.95 z.alpha= qnorm(0.975) (2/0.01*z.alpha*0.02)^2 [1] 61.46334 ## n=62 ## IC pour mu (confiance 0.95) c(23.671+qt(0.025,149)*0.022/sqrt(150), 23.671+qt(0.975,149)*0.022/sqrt(150)) ## 23.66745 23.67455 ## Si on utilise le TCL + Slutsky c(23.671+qnorm(0.025)*0.022/sqrt(150), 23.671+qnorm(0.975)*0.022/sqrt(150)) ## [1] 23.66748 23.67452 ## la difference est minime ### IC pour sigma (de confiance 0.95) q1 = qchisq(0.025,149) q2 = qchisq(0.975,149) c(sqrt(149)*0.022/sqrt(q2),sqrt(149)*0.022/sqrt(q1)) [1] 0.01976049 0.02481653 ### Ex 3 ### ON utilise le TCL + slutsky (car l'ecart-type est estime, d'ou la condition sur l'existence des moments d'ordre 4) ## IC pour mu de confiance 0.99 z.alpha = qnorm(0.995) c(158-z.alpha*30/sqrt(100),158+z.alpha*30/sqrt(100)) ## [1] 150.2725 165.7275 ## IC pour mu ### On peut construire ici un IC unilateral du type [0,An] z.alpha = qnorm(0.99) 158+z.alpha*30/sqrt(100) # [1] 164.979 ## La probabilite que la duree de vie moyenne des piles soit inferieure a 164.98 heures est egale a 0.99 ## La probabilite que la publicite soit mensongere est donc superieure a 0.99